Hallo Anika,
schön, dass Tierheimratten bei Euch ein Zuhause finden werden?
Fast alle meiner Ratten stammten aus verschiedenen Tierheimen. Das Vorgehen war immer gleich eigentlich. Ich habe vorher meistens mal angerufen bzw. auf den Webseiten der Tierheime geschaut, ob Ratten da sind, die in Frage kommen. Teilweise posten User hier auch im Vermittlungsbereich, was in ihren örtlichen Tierheimen grade "einsitzt":
Dann kannst Du meistens recht kurzfristig hingehen. Einen Termin vorher ausmachen musste man in meinem Fällen nie. Es kann aber sinnvoll sein sich zu erkundigen, ob der zuständige Kleintierpfleger (sofern es einen gibt) zu dem Zeitpunkt da ist.
Wenn Du Dich entschieden hast, kann man Kleintiere wie Ratten oft kurzfristig abholen und mitnehmen. Viele Tierheime machen bei Kleintieren keine Vorkontrolle. Daher kann es sein, dass es dann ganz schnell geht. Manchmal gibt es dann später eine Nachkontrolle, bei mir war das aber nur in einem Fall so. Und das war etwas kurios, da der Anruf zwei Jahre nach der Vermittlung der (schon älteren) Ratten kam. Als ich am Telefon sagte, dass von den Tieren inzwischen natürlich keines mehr lebt war die Dame erst ganz alarmiert und entrüstet... 
Was ich sagen will ist, es kann unterschiedlich schnell gehen. Was aber kaum ein Tierheim macht ist, die Tiere über einen längeren Zeitraum zu "reservieren". Die Tiere sollen ja schnell ein Zuhause finden. Wenn Du sie also erst Wochen später übernehmen kannst und es kommt jemand anderes vor Dir, dann ist es besser für die Tiere, wenn diese Person sie auch bekommt.
Zu Deiner Frage wegen der Vermittlung in und um Biberach würde ich Dir empfehlen, ein Gesuch zu eröffnen. Oftmals ergibt sich eine Mitfahrgelegenheit o.ä. und es kämen auch Ratten von weiter her für Dich in Frage. Eine Lösung findet sich fast immer.
Ruf doch einfach mal im Tierheim an oder geh dort vorbei. Käme vielleicht auch das Stuttgarter Tierheim in Frage für Euch?
Die sind sehr gut in der Kleintiervermittlung, einige meiner Ratten waren von dort.
Grüße!
Steffi